(М.: АСТ, Астрель, 2003, 400 с.).

АННОТАЦИЯ

В книге приведены новые занимательные задачи, которые помогут детям не только полюбить вычисления, но и получать по математике только пятёрки. Головоломки с неповторяющимися цифрами систематизированы, что позволит эффективно использовать их как для проведения олимпиад и праздников, так и для тренировки математического аппарата школьников. В результате ученики начальных классов быстрее запомнят таблицу умножения, а старшеклассники смогут развить свои творческие и комбинаторные способности. Важный раздел книги – "Страницы истории", в котором впервые указываются альтернативные решения самых известных задач. Особо нужно обратить внимание на самый большой на сегодняшний день перечень книг, где есть страницы, посвящённые занимательной математике.

Для учащихся 1-7 классов, учителей, руководителей математических кружков, родителей, методистов и всех интересующихся головоломками.

В отечественных и зарубежных математических пособиях издавна помещались всевозможные головоломки, поскольку привлечение занимательного материала оживляло учебный процесс.

Из дошедших до наших дней древних рукописей ("Русская Правда", "Учение им же ведати человеку числа всех лет" и других) известно, что математические знания на Руси были распространены по крайней мере уже в 10–11 веках.

"На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение (конец 10 века) славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации. В греко-славянской системе нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквой ставили знак титло", – отмечает Б.В.Гнеденко в "Очерках по истории математики в России" (М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946, с.17). Вот некоторые единицы древнего счёта: 1 – един, 10 – десять, 100 – сто, 1 000 – едина тысяча, 1 000 000 – едина тьма, 1 000 000 000 000 – един легион, 10²⁴ – един леодр, 10⁴⁸ – ворон, 10⁴⁹ – колода.

О существовании математических навыков у русских людей начала второго тысячелетия говорит также содержание международных договоров. Например, князь Олег заключил с греками договор о взаимном выкупе из плена жителей обеих государств по заранее оговоренной цене. Многие торговые соглашения содержат пункты о весе и о плате за взвешивание.

Так, в договоре новгородцев с немцами (1270 г.) сказано: "Гость платит весовщику 9 векшей с капи... Капь должна заключать в себе весу 8 ливонских фунтов". Взвешивание проводили специальные должностные лица – весцы, весовщики, пудовщики, которые, безусловно, должны были обладать достаточными арифметическими познаниями.

Только в 16–17 веках в России получила распространение специальная рукописная математическая литература. Как правило, она носила конкретный практический характер, так как предназначалась для землемеров, купцов, торговцев, т.е. всех тех, кто по роду своей деятельности должен был уметь оперировать большими числами.

До наших дней дошло очень мало старинных документов. Из сохранившихся рукописей 17 столетия – не более трёх посвящённых арифметике и геометрии; значительно больше сборников включали в себя и естественнонаучные сведения; также известны и две общеобразовательные энциклопедии – "Азбуковники". Подобно западноевропейским мыслителям, отечественные авторы разделяли науки на 7 "свободных мудростей": Грамматику, Диалектику, Риторику, Музыку, Арифметику, Геометрию и Астрономию. При этом арифметику определяли так: "Арифметика, еже есть счётная мудрость, в седми мудростях пятая, свободная перед Богом".

Интересно, что математическая терминология рукописей 17 века существенно отличалась от нынешней. Слагаемые назывались перечнями, их сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заёмным перечнем, вычитаемое – платёжным перечнем, разность – остатком, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей, а сомножители и их произведение специальных наименований не имели.

Тогда же были впервые описаны многие из забавных задач, включённых позднее в 18 веке в учебники по математике. Многие из них настолько совершенны, что без изменений дошли до наших дней. Взять, к примеру, замечательный приём умножения однозначных чисел на 9 с помощью пальцев обеих рук, которым сейчас владеет любой школьник. Или определение загадочного числа 143, которое при умножении на 777 даёт в итоге 111 111. Или выявление свойств числа 481. Сюда же относится и чудесная головоломка "Волк, коза и капуста", а также остроумная задача "Сколько раз совместятся стрелки?", которая произвела огромное впечатление на зрителей в телевизионной игре "О, счастливчик!" в 2001 году. Этот ряд можно продолжать и продолжать.

Подобные задачи приводились в конце математических рукописей и рассматривались как арифметические развлечения. Часть их имела западное происхождение и была заимствована из сочинения Баше де Мизерака, изданного во Франции в 1612 г. – например, задачи "О плотниках", "О яйцах", "О хождении юношей", "О льве, волке и псе". Вот трактовка последней из них: "Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати, сколько бы они все три – лев и волк и пёс – овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми."

1703 г. – важная веха в истории отечественной математики. Именно тогда в Москве был издан учебник выдающегося русского математика Леонтия Филипповича Магницкого "Арифметика, сиречь наука числительная", который на протяжении полувека оставался лучшим учебником по математике и способствовал распространению математических знаний в России. Очень высоко оценил книгу Михаил Васильевич Ломоносов (он знал её наизусть). Магницкий даёт принципиально новое определение арифметики, характеризуя её как искусство: "Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретённое и изложенное". Любопытна терминология учебника, удержавшаяся в отечественных учебниках до конца 18 века. Все числа первого десятка названы перстами, круглые числа – суставами, а все остальные числа – сочинениями. Занимательным задачам был отведён целый раздел учебника: "Об утешных некиих действах, чрез арифметику употребляемых".

В дальнейшей популяризации математики в России и разработке занимательных задач велика роль швейцарского учёного Леонарда Эйлера, который в 1727 году был приглашён в Петербург и назначен адъюнктом по математике Петербургской Академии наук. Одно из интереснейших изобретений Эйлера – латинские квадраты (1782 г.).

В самом конце 18 века стали появляться брошюры, целиком заполненные забавными вопросами, загадками и задачами. Пожалуй, первой стала книга "Гадательная арифметика для забавы и удовольствия" (СПб., 1789). Она представляла собой небольшое собрание занимательных задач (менее 50): на отгадывание задуманных чисел, на переправы, переливание жидкостей, угадывание числа лет и др.

Следующее издание подобного рода – "Детский гостинец, или Четыреста девяносто девять загадок с ответами в стихах и прозе, взятых как из древней, так и из новейшей истории и из всех царств природы и собранных одним другом детей для их употребления и приятного препровождения времени" (М., 1794). Эта небольшая по объёму книга интересует нас, прежде всего потому, что она предназначена детям. В предисловии имеются строчки, под которыми подписался бы любой современный автор: "Книга, сей источник просвещения и истинного удовольствия, не должна быть для детей источником скуки и горести".

Так, для того чтобы учение было привлекательным, обучение детей младшего возраста следует представлять как "забаву, а не как скучную должность". Кроме того, при обучении детей "надо знать их склонности и способности и надобно уметь делать в упражнениях радость, которая для них весьма приятна".

Огромную работу по сбору, систематизации и стилистической обработке старинных задач с интересным содержанием провели в конце 20 века С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко и М.К.Потапов. Её итогом стал выход книги "Старинные занимательные задачи" (М.: Наука, 1985), уникального издания, в котором приведены только задачи, опубликованные в России до 1800 года. Под одной обложкой была приведена 171 задача, часть из которых доступна детям младшего школьного возраста. В дальнейшем эта книга неоднократно переиздавалась (М.: АО "Столетие", 1994; М.: УНЦ ДО МГУ, 1996 и др.)

Нам показалось важным продолжить работу по сбору и анализу старинных и современных занимательных математических задач, чтобы определить виды головоломок, которые помогут учащимся полюбить вычисления. Наиболее перспективными оказались следующие: 1) задания с одинаковыми цифрами; 2) задания с неповторяющимися цифрами. Выяснилось, что задачи как одного, так и другого типа присутствуют практически в любой книге математических затей, но в очень малом количестве. При этом никто пока не занимался их классификацией. Немецкий математик В.Литцман в книге "Весёлое и занимательное о числах и фигурах: Занимательная математика всякого рода, о числах, о геометрических формах" (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, 2-е издание, с.135) сообщает следующее: "Систематизации они, насколько нам известно, не подвергались". Часть этой работы мы выполнили, ограничив область исследований использованием только четырёх основных математических действий и применением скобок (что представляет большой интерес прежде всего для начальной школы, а также для пятого и шестого классов).

Итогом разработки числовых головоломок с одинаковыми цифрами стало наше пособие "Весёлая математика: 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1 – 7 класс" (М.: ТЦ "Сфера", 2002).

Новая книга посвящена занимательным задачам с неповторяющимися, неодинаковыми цифрами. Эти головоломки (их ещё называют числовыми ребусами) следует рассматривать не как математическую забаву, а как эффективный способ в самые короткие сроки развить вычислительные способности практически любого ученика.

Подавляющее большинство головоломок из данной книги можно охарактеризовать как "задачи с числами, расположенными последовательно" (их 1061 из 1200). Педагоги знают, как сложно порой подобрать для учащихся задания, в которых требуется не решать примеры, а самим их придумывать. Задания рассматриваемого вида – разновидность подобных "обратных" задач. Если в традиционных математических примерах требуется произвести вычисления и получить ответ, то здесь по имеющемуся ответу следует смоделировать исходный пример.

В других главах помещены головоломки с неповторяющимися числами в клетках, кружках и секторах ("Числовые горизонтали с пустыми клетками", "Геометрические фигуры с пустыми секторами и кружками", "Магические квадраты", "Математические дорожки").

В первой части данной книги мы познакомим вас с нашими собственными разработками, а во второй ("Страницы истории") – с пособиями других методистов.

Основным недостатком классических задач рассматриваемого вида является то, что при наличии в большинстве из них нескольких верных решений в ответах приводится лишь одно из них.

Между тем данный вид числовых затей оптимально выполняет свою педагогическую, а не развлекательную функцию только в том случае, когда решения публикуются с достаточной полнотой. Поэтому в ответах на свои головоломки мы указываем все или почти все правильные решения.

Вместе с тем основу пособия составляют задачи, имеющие единственный правильный ответ.

Почти все головоломки придуманы автором и публикуются впервые.

Особенностью книги является то, что при решении разрешается использовать только знаки четырёх арифметических действий и при необходимости скобки (но не скобки в скобках). Это очень важно, так как данный вид числовых затей становится доступным и для детей младшего школьного возраста.

Ответы на задачи даны в конце пособия.

Следующий раздел книги – "Страницы истории". В нём впервые подробно прослеживается история числовых головоломок с неповторяющимися цифрами, доступных ученикам 1-7 классов. Ранее как в отечественных, так и в зарубежных журналах и монографиях публиковалась только история знаменитых задач для учащихся старших классов. В подтверждение укажем следующие книги: Э.Люкас "Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм" (СПб.: Издание Павленкова, 1883), Г.Н.Попов "Памятники математической старины в задачах" (М.-Л., 1929), В.Д.Чистяков "Старинные задачи по элементарной математике" (Минск: Вышейшая школа, 1978), И.И.Баврин, Е.А.Фрибус "Старинные задачи" (М.: Просвещение, 1994).

Ещё более значимо то обстоятельство, что в разделе "Страницы истории" не только приводятся тексты хрестоматийных задач с неодинаковыми цифрами, созданных классиками научно-популярной литературы, но и во многих случаях впервые предлагаются их альтернативные решения и существенные уточнения.

Завершает книгу наиболее полный на сегодняшний день перечень книг, в которых есть страницы, посвящённые занимательной математике.

Стоит отметить, что, в отличие от задач с одинаковыми цифрами, многие задачи рассматриваемого вида доступны самым маленьким детям. С подобных задач и начинается наша книга. Но сначала обратимся к сказочной истории о Нулях и Значащих Цифрах.

…Очень огорчило Нулей, что не побывали у них в Нулевом посёлке Математические Знаки. Пришлось Нулям самим отправиться на поиски Знаков и пригласить их к себе.

Нули уже узнали обо всех полезных поступках, которые совершили Математические Знаки для Единиц, Двоек и других значащих цифр, и были уверены, что и им Знаки послужат верой-правдой. Но всё оказалось не так.

Впрочем, обо всём по порядку. Сначала решили Нули применить Знак Минус:

0.

0 = 0.

0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.

Удивились Нули: из одного Нуля хоть один Нуль вычитай, хоть девять – ничего не получается.

Тут один Нулик расхохотался:

– И не получится, если мы и дальше отнимать будем. Не вычитать надо, а прибавлять!

Повеселели остальные Нули и стали складывать:

0.

0 = 0.

0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Удивительное дело: сколько Нулей к одному Нулю ни прибавляют, результат не меняется!

– Уж хоть бы Единицу получить, – горестно вздохнули Нули. – Чтобы приумножить наше Нулевое хозяйство, видимо, не складывать, а умножать надо!

И стали они умножать. Умножали, умножали, в конце концов, целых десять Нулей перемножили, да ничего у них не вышло:

0.

0 = 0.

0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.

– Что же это за дела, – удивился один из Нулей. – Отнимали – и ничего не вычли. Складывали – и ничего не добавили. Умножали – и не приумножили. Как теперь поступить? Делить, что ли?

– Делить-то нечего, – фыркнули остальные Нули, посмотрев из стороны в сторону. – Давайте-ка лучше помирим остальные Цифры между собой и сами со всеми помиримся.

Это предложение всем Нулям понравилось. Нули не были такими гордыми, как остальные Цифры. Недолго раздумывая, они отправились в соседние города и уговорили все Цифры помириться.

Единицы, Двойки, Тройки и другие Цифры сами уже соскучились без товарищей и с радостью согласились со всеми встретиться.

Встреча произошла в Нулевом Посёлке, и можете себе представить, какой весёлой она выдалась.

Единицы выстроили высокую пирамиду, которая вскоре под смех остальных Цифр развалилась. Упали Единицы прямо на Семёрок, которые стояли рядом.

После падения Цифры Один стали похожи на Семёрки, а Цифры Семь превратились в Единиц.

Двойки лебедями плескались в поселковом пруду и осыпали брызгами друзей.

Тройки таким образом прислонились к зеркалам, что стали похожи на Восьмёрок.

Четвёрки перевернулись, превратившись в стулья, и предложили всем желающим на них посидеть. Но когда несколько Нулей забрались на такие стульчики, то Четвёрки перекувырнулись, и Нули под хохот друзей кубарем покатились прочь.

Пятёркам понравились проделки Троек и Четвёрок: они тоже перевернулись, посмотрели на себя в зеркало и обнаружили, что почти не отличаются от Двоек.

Тут уж почти все цифры стали переворачиваться. Шестёрки превратились в Девяток, Девятки в Шестёрок.

Восьмёрка перевернулась несколько раз, но с удивлением обнаружила, что, в отличие от некоторых других Цифр, не изменилась.

Тогда она рассудила, что, вероятно, переворачивалась не в ту сторону и только поэтому не стала другой Цифрой.

Тут один шалунишка-Нуль так резко толкнул Восьмёрку, что она развалилась на две части.

Два Нуля взгромоздились один на другой, закричали:

– Мы теперь – Восьмёрка! – и задорно пропели. -

А Восьмёрка – тра-ля-ля! -

А Восьмёрка – два Нуля!

Но обе части Восьмёрки снова заняли свои места, и Восьмёрка решила держаться подальше от проказников Нулей.

Больше всего Цифрам понравилось то, что теперь с помощью математических знаков гораздо легче стало представлять одни числа через другие. Если прежде, чтобы изобразить число 3 нужны были три Единицы (1 + 1 + 1) или три Двойки (2 : 2 + 2), то теперь хватило одной Единицы и одной Двойки:

1 + 2 = 3.

А если взять по одной Цифре Один, Два и Три и, расположив их по порядку, вставить между ними Математические Знаки, то легко можно получить такие числа первой сотни:

(1 + 2) : 3 = 1;

12 : 3 = 4;

1 · 2 + 3 = 5;

1 · (2 + 3) = 5;

1 + 2 + 3 = 6;

1 · 2 · 3 = 6;

1 + 2 · 3 = 7;

12 – 3 = 9;

(1 + 2) · 3 = 9;

12 + 3 = 15;

1 · 23 = 23;

1 + 23 = 24;

12 · 3 = 36.

А Нуля особенно обрадовало то, что таким образом и его можно было изобразить:

1 + 2 – 3 = 0.

Если же рядом встанут Единица, Двойка, Тройка и Четвёрка, то можно ещё больше чисел из первой сотни выразить!

Например, так:

12 – 3 · 4 = 0;

12 : 3 : 4 = 1;

1 + 2 + 3 – 4 = 2;

1 + 2 · 3 – 4 = 3;

1 + 2 – 3 + 4 = 4;

12 – 3 – 4 = 5;

(1 + 23) : 4 = 6;

12 : 3 + 4 = 8;

1 · 2 + 3 + 4 = 9;

1 + 2 + 3 + 4 = 10;

12 + 3 – 4 = 11;

12 – 3 + 4 = 13;

1 · 2 + 3 · 4 = 14;

1 + 2 + 3 · 4 = 15;

12 : 3 · 4 = 16;

12 + 3 + 4 = 19;

1 + 23 – 4 = 20;

1 + (2 + 3) · 4 = 21;

1 · 2 · 3 · 4 = 24;

1 + 2 · 3 · 4 = 25;

1 · 23 + 4 = 27;

1 + 23 + 4 = 28;

12 · 3 – 4 = 32;

1 · 2 + 34 = 36;

1 + 2 + 34 = 37;

12 · 3 + 4 = 40;

12 + 34 = 46;

(12 + 3) · 4 = 60;

1 · 2 · 34 = 68;

1 + 2 · 34 = 69;

12 · (3 + 4) = 84;

1 · 23 · 4 = 92;

1 + 23 · 4 = 93;

(1 + 23) · 4 = 96.

Во многих случаях есть и другие способы (о них мы поговорим позднее).

Хорошо теперь зажили Цифры, но больше всех был счастлив Нуль.

Правда, сначала он никак не мог понять, с какой стороны подойти к значащим Цифрам, чтобы результат получился наибольшим. Нуль знал, что число 9 самое большое из однозначных чисел и решил сдружиться с Девяткой. Но с каким Математическим Знаком ему отправиться к ней в гости? Понятно, что не со Знаками Вычитания и Деления. Решил Нуль заняться умножением:

0 · 9 = 0.

Ничего хорошего не получилось. Расплакалась Девятка. Вся надежда оставалась на Знак Плюс:

0 + 9 = 9.

Повеселел Нуль, наконец что-то стоящее в результате получилось, хоть это и не его заслуга, а Цифры 9.

Снова призадумался Нуль: "А нужны ли нам сейчас Математические Знаки? Как наше Королевство называется? Нуль-Девять. Встану-ка я рядом с Девяткой без всяких Знаков! Я – слева, Девятка – справа":

09.

Нет, не то. А если перебежать на другую сторону?

Как задумано, так и сделано. Получилось 90!

Ай да Нуль! Без умножения увеличил значение Девятки в десять раз.

Так и стал Нуль с Девяткой под ручку ходить: Девятка – слева, Нуль – справа.

С тех пор Нуля стали уважать в Королевстве Нуль-Девять наравне с остальными Цифрами, да и само Королевство порой называли Королевством Девяносто.

А Нуль потом сообразил, что если справа поставить своего брата, то можно получить ещё большее число – 900! А так как братьев у Нуля видимо-невидимо, то получившееся число можно увеличивать бесконечно:

9000, 90000, 900000, 9000000, 90000000, 900000000, 9000000000...

Во всех последующих задачах решающему предлагается некоторое количество последовательно расположенных однозначных чисел (1 2 3 4 и т.д.), между которыми в подходящих местах необходимо расставить знаки "плюс" и "минус". Порядок расположения цифр ни в одном из заданий менять нельзя. Также в процессе пооперационных вычислений не должны получаться отрицательные числа. К примеру, число 2 с помощью цифр 1, 2, 3 нельзя представить как:

1 – 2 + 3,

так как после выполнения первого действия (вычитания) возникает отрицательное число "минус 1".

Обратите внимание на то, что в разделе "Счёт до десяти" правильными решениями признаются только те, где при пооперационных вычислениях не фигурируют числа более 10, т.е. нельзя число 9 выразить следующим образом:

9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6,

так как после выполнения четвёртого действия (сложения) появляется число 15. Безусловно, в последующих разделах, где приведены задачи с большими числами, указанный ответ будет верным.

Ещё два важных обстоятельства:

1) Все числовые выражения данного раздела начинаются с цифры 1;

2) Скобки в математических выражениях нашей книги допускаются только начиная с задачи 775 (и то, если в условии задания не говорится, что их нельзя использовать), при этом запрещается применять скобки в скобках.

Последнее положение объясняется тем, что нагромождение скобок существенно снижает эстетичность искомого числового выражения и неоправданно затрудняет поиск правильного ответа.

Резюмируем: ответ к любой из задач 1–1061 должен иметь вид

1 2,

1 2 3,

1 2 3 4,

1 2 3 4 5,

1 2 3 4 5 6,

1 2 3 4 5 6 7,

1 2 3 4 5 6 7 8

или

1 2 3 4 5 6 7 8 9,

при этом во многих случаях между цифрами помещаются знаки арифметических действий и иногда скобки. Пример: число 15 можно выразить с помощью знаков сложения и пяти цифр так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5,

а посредством трёх цифр так:

12 + 3.

Подчеркнём, что указанные требования и ограничения распространяются только на наши авторские задачи раздела "Разные цифры". В решениях подобных задач, придуманных другими методистами, почти всегда применяются и отрицательные числа, и дроби, и фигурные скобки, и другие математические действия. О наиболее интересных разработках предшественников речь пойдёт в рубрике "Страницы истории".

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку, начиная с единицы)

1. Двумя цифрами. Представьте число 3 посредством цифр 1, 2 и знаков математических действий.

2. Тремя цифрами. Выразите число 0 с помощью цифр 1, 2, 3, знаков "плюс" и "минус". Напоминаем, что в подобных задачах нельзя менять порядок расположения цифр (цифры меньшие по значению всегда располагаются левее), причём каждая из них используется только один раз.

3. Тремя цифрами. Изобразите число 6 посредством единицы, двойки и тройки.

4. Четырьмя цифрами. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 2.

5. Четырьмя цифрами. Представьте число 4 посредством первых четырёх значащих цифр.

6. Четырьмя цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3 и 4.

7. Пятью цифрами. Выразите число 5 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

8. Пятью цифрами. Изобразите число 7 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

9. Пятью цифрами. Напишите число 9 с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

10. Шестью цифрами. Представьте число 1 посредством первых шести значащих цифр.

11. Шестью цифрами. Выразите число 3 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

12. Семью цифрами. Изобразите число 8 посредством единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

13. Семью цифрами. Запишите число 10 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

14. Восьмью цифрами. Представьте число 0 посредством первых восьми значащих цифр.

15. Восьмью цифрами. Выразите число 2 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

16. Девятью цифрами. Изобразите число 9 посредством всех значащих цифр.

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку слева направо, начиная с единицы)

17. Представьте число 0 посредством нескольких последовательно расположенных цифр и знаков "плюс" и "минус" (как уже отмечалось, во всех подобных задачах данного раздела получившееся числовое выражение должно начинаться с цифры 1). Укажите два способа.

18. Изобразите таким же образом единицу (запись в виде одной цифры 1 в подобных задачах не допускается). Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

19. Двумя способами выразите число 2 с помощью некоторого количества значащих цифр.

20. Напишите подобным же образом число 3. Также найдите два способа.

21. Представьте четвёрку посредством нескольких последовательно расположенных цифр.

22. Выразите таким же образом число 5.

23. Изобразите число 6 с помощью некоторого количества значащих цифр.

24. Напишите подобным же образом число 7.

25. Представьте восьмёрку через несколько последовательно расположенных цифр. Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

26. Двумя способами изобразите число 9 с помощью некоторого количества значащих цифр.

27. Выразите подобным же образом число 10. Сможете ли вы указать два способа?

(внимание: при пооперационных вычислениях не должны получаться числа более 20, а все числовые выражения в ответах к данному разделу будут начинаться с цифры 1 и далее по порядку; скобки не использовать)

28. Представьте число 9 посредством цифр 1, 2, 3 (не забудьте, что использовать их можно только по одному разу) и одного математического знака.

29. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки и тройки.

30. Изобразите число 5 посредством цифр от 1 до 4.

31. Расставьте между числами 1, 2, 3, 4 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 11.

32. Напишите число 13 с помощью четырёх цифр: единицы, двойки, тройки и четвёрки.

33. Выразите посредством четырёх первых значащих цифр число 19.

34. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

35. Выразите число 6 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

36. Изобразите число 8 посредством цифр от 1 до 5.

37. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 10.

38. Представьте число 14 посредством цифр 1, 2, 3, 4 и 5.

39. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки и пятёрки.

40. Изобразите число 16 посредством цифр от 1 до 5.

41. Напишите число 18, используя только первые пять значащих цифр.

42. Представьте 0 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

43. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

44. Изобразите число 4, используя только первые шесть значащих цифр.

45. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 6.

46. Представьте число 8 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

47. Выразите число 9 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

48. Изобразите число 10 посредством цифр от 1 до 6.

49. Напишите число 11 с помощью первых шести значащих цифр.

50. Двумя способами представьте число 12 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

51. Выразите число 13 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки.

52. Изобразите число 14, используя только первые шесть значащих цифр.

53. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 знаки сложения и вычитания таким образом, чтобы в результате получилось 15.

54. Представьте число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

55. Можно ли выразить числа 17, 18 и 19 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки и шестёрки таким образом, чтобы в результате пооперационных вычислений не получались числа большие, чем 20?

56. Изобразите число 20 посредством цифр от 1 до 6.

57. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число нуль (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: допускается применять только знаки "плюс" и "минус", при пооперационных вычислениях не должны получаться числа большие 20 и др.)?

58. Представьте единицу посредством цифр от 1 до 7.

59. Выразите число 2 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

60. Изобразите тройку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

61. Напишите число 4 с помощью цифр от 1 до 7.

62. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.

63. Представьте число 6 посредством первых семи значащих цифр.

64. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки. Приведите два способа.

65. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Найдите два способа.

66. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 7.

67. Выразите число 10 посредством семи первых значащих цифр.

68. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11.

69. Можно ли с помощью первых семи значащих цифр выразить число 12 (как и в других задачах, с учётом указанных в данном разделе ограничений: разрешается применять только знаки "плюс" и "минус", при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, более 20 и др.)?

70. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Укажите два способа.

71. Возможно ли посредством семи первых значащих цифр изобразить число 14?

72. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

73. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

74. Напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 7.

75. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.

76. Представьте число 19 посредством первых семи значащих цифр. Приведите два способа.

77. Выразите число 20 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки и семёрки.

78. Двумя способами представьте нуль посредством первых восьми значащих цифр.

79. Выразите число 1 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Также найдите два способа.

80. Изобразите двойку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

81. Напишите число 3 с помощью цифр от 1 до 8.

82. Можно ли с помощью восьми первых значащих цифр представить число 4 (опять не забудьте про ограничения на числовые выражения в данном разделе)?

83. Двумя способами расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки сложения и вычитания (там, где это требуется), таким образом, чтобы в результате получилось 5.

84. Возможно ли с помощью восьми первых значащих цифр изобразить число 6?

85. Выразите число 7 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки.

86. Изобразите восьмёрку посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

87. Двумя способами напишите число 9 с помощью цифр от 1 до 8.

88. Выразите число 10 посредством восьми первых значащих цифр. Также укажите два способа.

89. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 11. Найдите три способа.

90. Двумя способами с помощью восьми первых значащих цифр выразите число 12.

91. Представьте число 13 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Укажите два способа.

92. Посредством восьми первых значащих цифр изобразите число 14.

93. Выразите число 15 с помощью единицы, двойки, тройки, четвёрки, пятёрки, шестёрки, семёрки и восьмёрки. Укажите два способа.

94. Изобразите число 16 посредством цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Также найдите два способа.

95. Двумя способами напишите число 17 с помощью цифр от 1 до 8.

96. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 18.

97. Представьте число 19 посредством восьми первых значащих цифр.

98. Возможно ли с помощью цифр от 1 до 8 (и, безусловно, всех налагаемых ограничений) изобразить число 20?

99. Какие из чисел в интервале 0 – 20 не удаётся выразить посредством восьми первых значащих цифр?

100. Какое из чисел в интервале 0 – 20 можно выразить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 наибольшим количеством способов? Укажите это количество.

…

…

…

В пустые клетки надо поместить такие цифры, чтобы пример был решён правильно. При этом в одной клетке должна быть только одна цифра, причём одна и та же цифра не должна встречаться дважды (это относится ко всем заданиям данного раздела).

1062.

1063. В этом задании все числа чётные.

1064. В этом задании числа от 1 до 3.

Новые задания – равенства. Сумма чисел в его левой части должна быть равна сумме чисел в правой части. Дополнительное условие: сумма слагаемых может быть двузначным числом. Но в клетки, как и во всех остальных заданиях данного класса, записываются только однозначные числа.

1065.

1066.

1067. В задании все числа чётные.

В задачах данного раздела:

– двузначное число.

Как обычно, в заданиях нет одинаковых цифр.

1145.

1146.

1147.

Волшебные квадраты были известны на Востоке ещё в глубокой древности. Увлекались их составлением индусы и арабы. В странах Европы о них узнали в XV веке благодаря стараниям византийского писателя Мосхопуло. Средневековые звездочёты не сомневались, что эти квадраты обладают магической силой.

Волшебный квадрат расчерчен на клетки, в каждую из которых вписано число, причём сумма чисел в каждом горизонтальном и вертикальном (а подчас и самых длинных диагональных) рядах одинакова.

В этой главе представлены задачи с волшебными квадратами. Специально для данной книги мы придумали несколько новых головоломок.

1182. Расположи в пустых клетках недостающие числа от 2 до 9 таким образом, чтобы их сумма в каждом горизонтальном, вертикальном и одном трёхклеточном диагональном ряду равнялась 15, при этом цифры не должны повторяться.

1183. Впиши в свободные клетки магического квадрата числа от 3 до 9 таким образом, чтобы их сумма в каждом горизонтальном, вертикальном и трёхклеточном диагональном ряду равнялась 15.

"Математические дорожки" – вид числовых ребусов, который называют также "Арифметические дорожки" и "Числовой коврик". Здесь надо решить не один-единственный пример, как в "Числовых горизонталях", а нередко от одного до трёх по горизонтали и от одного до трёх по вертикали (единственное исключение – задание "Числовая вертикаль"). Нам удалось разработать новые занимательные задачи, которые решаются с помощью несложных логических операций. Как и в "Числовых горизонталях", в каждой пустой клетке должна быть только одна цифра. При этом, как и во всех других задачах книги, цифры не должны повторяться.

1187. "Числовая вертикаль". В пустые клетки впиши недостающие числа от 1 до 4 таким образом, чтобы вертикальный пример был решён. Ещё раз напоминаем – в этой и всех следующих задачах не должно быть одинаковых цифр.

1. 1 + 2. 2. 1 + 2 – 3. 3. 1 + 2 + 3. 4. 1 + 2 + 3 – 4. 5. 1 + 2 – 3 + 4.

6. 1 + 2 + 3 + 4. 7. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 8. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

9. 1 + 2 – 3 + 4 + 5. 10. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6.

11. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 12. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7.

13. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 14. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

15. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

16. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

17. 1 + 2 – 3; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

18. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6; шесть.

19. 1 + 2 + 3 – 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

20. 1 + 2; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 21. 1 + 2 – 3 + 4.

22. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 23. 1 + 2 + 3. 24. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

25. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; семь.

26. 1 + 2 – 3 + 4 + 5; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

27. 1 + 2 + 3 + 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

28. 12 – 3. 29. 12 + 3. 30. 12 – 3 – 4. 31. 12 + 3 – 4.

32. 12 – 3 + 4. 33. 12 + 3 + 4. 34. 12 – 3 – 4 – 5.

35. 12 + 3 – 4 – 5. 36. 12 – 3 + 4 – 5. 37. 12 – 3 – 4 + 5.

38. 12 + 3 + 4 – 5. 39. 1 + 2 + 3 + 4 + 5. 40. 12 + 3 – 4 + 5.

41. 12 – 3 + 4 + 5. 42. 12 + 3 – 4 – 5 – 6. 43. 12 – 3 + 4 – 5 – 6.

44. 12 – 3 – 4 + 5 – 6. 45. 12 – 3 – 4 – 5 + 6.

46. 12 + 3 + 4 – 5 – 6. 47. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6.

48. 12 + 3 – 4 + 5 – 6. 49. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6.

50. 12 – 3 + 4 + 5 – 6; 12 + 3 – 4 – 5 + 6.

51. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6. 52. 12 – 3 + 4 – 5 + 6.

53. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6. 54. 12 – 3 – 4 + 5 + 6.

55. Нет. 56. 12 + 3 + 4 – 5 + 6. 57. Нет. 58. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7.

59. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7. 60. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7.

61. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7.

62. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7.

63. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7.

64. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7.

65. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7.

66. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7.

67. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7. 68. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7.

69. Нет. 70. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7. 71. Нет.

72. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7. 73. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

74. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7. 75. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7.

76. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7.

77. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7.

78. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 – 8.

79. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8.

80. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

81. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8. 82. Нет.

83. 12 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 – 8; 12 – 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8. 84. Нет.

85. 12 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 – 8. 86. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

87. 12 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 + 4 – 5 – 6 – 7 + 8.

88. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8.

89. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 + 7 – 8;

12 + 3 – 4 + 5 – 6 – 7 + 8.

90. 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 – 8.

91. 12 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8.

92. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8.

93. 12 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8; 12 + 3 – 4 – 5 – 6 + 7 + 8.

94. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8.

95. 12 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 + 8; 12 – 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8.

96. 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 + 8. 97. 12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 8.

98. Нет. 99. 4, 6 и 20. 100. Число 11; три способа.

Остальные ответы в Интернет-версии не приводим.

(фрагменты нашей книги)

Задачи с неповторяющимися цифрами встречаем в замечательном отечественном трёхтомнике Е.И.Игнатьева "В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы" (СПб.: Тип. А.С.Суворина, 1908–1911). В "Книге 1" (цитируемой по третьему изданию, 1911, с.48-49) приведены:

"Задача 31-я: Написать число 9 посредством десяти различных цифр (девяти значащих и одной незначащей)" и

"Задача 32-я: Написать число 100 посредством девяти различных значащих цифр".

Решение первой из них, согласно Е.И.Игнатьеву, таково:

"Число 9 может быть представлено в виде частного от деления одного пятизначного числа на другое, причём цифры обоих чисел будут различны. Дадим 6 таких решений:

"Доктор занимательных наук" Я.И.Перельман также не обошёл стороной данный вид арифметической затеи. В книге "Весёлые задачи: 101 головоломка для юных математиков с 112 рисунками" (Пг.: Начатки знаний, 1919, 2-е издание) он приводит задачу 24 (раздел III "Десять задач потруднее", с.21):

"Девять цифр.

Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Вы можете, не меняя их порядка, вставить между цифрами знаки "плюс" и "минус" таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100.

Нетрудно, например, вставив "+" и "–" шесть раз, получить 100 таким путём:

12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

Если хотите вставить "+" или "–" всего 4 раза, вы тоже можете получить 100.

Вот пример:

123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.

Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками "+" и "–" всего три раза!

Это будет гораздо труднее. И всё же это вполне возможно, надо только терпеливо искать.

Решение:

Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трёх знаков "+" и "–": 123 – 45 – 67 + 89 = 100.

В самом деле: 123 + 89 + 212; 45 + 67 = 112; 212 – 112 = 100.

Других решений задача не имеет.

Впрочем: если у вас есть терпение, попытайтесь испробовать другие сочетания".

В дальнейшем задачу "Девять цифр" Я.И.Перельман опубликовал и в других книгах, например, в пособии "Занимательные задачи" (Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.67).

Если в сборниках Е.И.Игнатьева и А.В.Сатарова не оговаривалась последовательность расположения цифр, то в рассматриваемой работе (как и в большинстве наших задач) их требуется расставить уже по порядку.

Укажем, что первое издание книги "Весёлые задачи" относится к 1914 году (Пг.: Изд. А.С.Суворина).

Подобную числовую головоломку находим и в книге Я.И.Перельмана "Фокусы и развлечения" (М.: Молодая гвардия, 1933). В разделе "Весёлая арифметика" на с.81 читаем:

"49. Из семи цифр.

Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Легко соединить их знаками "+" и "–" так, чтобы получилось 40:

12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40.

Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.

Ответ:

Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они:

123 + 4 – 5 – 67 = 55;

1 – 2 – 3 – 4 + 56 + 7 = 55;

12 – 3 + 45 – 6 + 7 = 55".

Есть в работах Я.И.Перельмана и несколько других задач с разными цифрами: "Десятью цифрами" ("Живая математика" – Л.-М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934, с.183), "Единица" ("Живая математика" – там же), "Необычайные дроби" ("Занимательные задачи" – Л.: Молодая гвардия, 1935, 4-е издание, с.68), но все они связаны с применением дробей и в настоящем пособии не приводятся.

Из книг, содержащих задачи с дробными решениями, упомянем только работу А.М.Воронца и Г.Н.Попова "Математические развлечения: Библиотека "В помощь школьнику". Серия по математике. Выпуск II" (М.-Л.: Госиздат, 1928, с.32). В разделе "Числовые курьёзы" дано следующее задание:

"3. Число 100 может быть записано посредством всех десяти цифр, из коих каждая берётся только один раз, так: 100 = 78³/₆ + 21⁴⁵/₉₀.

Существует ещё 4 способа; найдите их".

Ответы в книге не приведены.

Из зарубежных авторов, публиковавших числовые ребусы с неповторяющимися цифрами, наряду с американцем С.Лойдом отметим англичанина Г.Э.Дьюдени (1857–1930). В книге "520 головоломок" (М.: Мир, 1975, с.37, 43), составленной М.Гарднером на основе сборников Г.Э.Дьюдени, вышедших в 1926 и 1931 годах, приводятся, в частности, три такие задачи:

"104. Две суммы.

Можно ли расположить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 двумя группами по четыре цифры в каждой так, чтобы суммы чисел, составленных из цифр каждой группы, были равны между собой?

Очень просто получить ответ, заменив 9 на 6. Например, каждая из сумм двух групп чисел 1, 2, 7, 8 и 3, 4, 5, 6 равна 18. Но такая замена не допускается.

Ответ:

Расположив цифры следующим образом:

173 + 4 = 177 и

85 + 92 = 177

мы увидим, что обе суммы равны".

"131. Жонглирование цифрами.

Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырёх арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трёх выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения:

3 + 4 = 7; 9 – 8 = 1; 30 : 6 = 5.

Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.

Ответ:

7 + 1 = 8; 9 – 6 = 3; 4 · 5 = 20".

Отметим, что задача 131 приведена также в книге В.Н.Болховитинова, Б.И.Колтового и И.К.Лаговского "Твоё свободное время: Занимательные задачи, опыты, игры" (М.: Детская литература, 1970), задание "Как это сделать?" (с.110–111).

"132. Равные дроби.

Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-нибудь вроде ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄ или ¹/₉), используя каждую из девяти цифр по одному и только одному разу? Дроби можно образовать одним из следующих способов: либо ^a/_b = ^c/_d = ^ef/_ghj, либо ^a/_b = ^c/_de = ^fg/_hj.

Существует только пять решений, но пятое содержит некую "изюминку" – тонкость, которая, быть может, ускользнёт от читателя.

Ответ:

Приведём пять решений задачи:

Вы уже, наверное, заметили, что в пособии рассмотрены большей частью находки отечественных авторов, обративших внимание на данный класс математических затей. А что же зарубежные математики? В огромном море переводной учебной литературы головоломок с неповторяющимися числами немного. Нет их в таких известных трудах, как: К.Баше "Игры и задачи, основанные на математике" (СПб.-М.: Изд. М.О.Вольфа, 1877), Э.Люкас "Математические развлечения: Приложение арифметики, геометрии и алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и играм" (СПб.: Изд. Павленкова, 1883), В.Шустер "Математические вечера: Весёлая математика" (СПб.: Вестник Знания, 1908), В.Аренс "Математические игры и развлечения" (СПб.: Физика, 1911), Г.Шуберт "Математические развлечения и игры" (Одесса: Матезис, 1923, 2-е изд.), У.Болл, Г.Коксетер "Математические эссе и развлечения (М.: Мир, 1986), С.Барр "Россыпи головоломок" (М.: Мир, 1987, 3-е изд.), Н.Лэнгдон, Ч.Снейп "С математикой в путь" (М.: Педагогика, 1987).

Вместе с тем, как было отмечено, данной проблематикой занимались англичанин Г.Э.Дьюдени и американцы С.Лойд и М.Гарднер.

Если обратиться к зарубежным публикациям последних лет, то лишь одна-единственная головоломка с неповторяющимися цифрами приведена в сборнике "The Little Giant Encyclopedia of Puzzles" (N.Y., 1996), да и та заимствована у М.Гарднера. Также одно подобное задание в книге K.Russel, F.Carter "Number Puzzles" (Foulsham, 1993), причём оно связано с дробями. А в содержательном пособии для начальной школы R.Allan, M.Williams "Mathswise" (Oxford University Press), выдержавшем с 1985 по 1994 год 11 изданий в одной только Великобритании, вообще нет подобных задач.

Отметить можно лишь книгу Л.Чилингировой и Б.Спиридоновой "Играя, учимся математике: Пособие для учителя начальных классов" (М.: Просвещение, 1993; год болгарского издания – 1987)…

Автор этих строк прежде лишь в одной книге обращался к задачам с неодинаковыми цифрами, расположенными по порядку. Вот два сказочных задания из пособия И.Г.Сухина "800 новых логических и математических головоломок" (СПб.: Союз, 2001, с.10):

"7. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр:

12345

как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл Путалка. Он тоже взял палочку и что-то начертил на песке. Тут к Путалке подошёл Загадалка и увидел вот что:

12345 = 60

Загадалка поморщился, почесал затылок, отобрал у Путалки палочку и кое-где вставил между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. Как он расставил знаки?

8. Хотя это может показаться невероятным, но точно такая же история приключилась с гномами и на следующий день. На этот раз Забывалка писал цифры, начиная с единички, справа налево:

54321

А Загадалке удалось верно расставить плюсы в таком выражении:

54321 = 60

Как он это сделал?

Ответ:

7. 12 + 3 + 45 = 60.

8. 54 + 3 + 2 + 1 = 60".

Впервые эти задачи под названием "Раз, два, три, четыре, пять!" я опубликовал в журнале "Мурзилка" (№5, 1999) в иной интерпретации, без сюжетной канвы.

В книге "800 новых логических и математических головоломок" гораздо больше нестандартных задач с неповторяющимися цифрами.

Отметим, что в рассматриваемом пособии задания с неодинаковыми цифрами специально не изучались и составляли незначительную часть книги. Вот примеры (с.45-46):

"Задачи из тетради гнома Забывалки.

Гном Забывалка принёс нам свою тетрадь, в которой он решал примеры на вычитание, сложение, умножение и деление однозначных чисел.

Но очень многие цифры Забывалка забыл поместить в квадратики и без твоей помощи тут не обойтись. Кое-что из этих задач гном помнит, и его подсказки помогут тебе справиться с заданиями.

В этих задачах впиши в пустые клетки-квадратики такие забытые гномом цифры, чтобы арифметический пример был решён правильно. И учти: в одной клетке должна быть только одна цифра.

4. В этой задаче нет одинаковых цифр.

Ответ: 9 – 8 = 1.

6. Тут нет цифр 5 и 7. Во всех клетках числа различны.

Ответ: 6 – 4 = 2 .

7. В новом примере – цифры от 0 до 4 (т.е. могут быть только 0, 1, 2, 3 или 4). Во всех клетках разные числа".

Ответ: 3 – 2 = 1.

А вот примеры головоломок из раздела "Цифры в буквах" (с.91, 92, 96):

"Задачи из тетради гнома Забывалки.

В этих задачах впиши в пустые клетки такие забытые гномом цифры, чтобы все арифметические примеры были верно решены. Не забудь: в одной клетке должна быть только одна цифра".

И в заключение – самый обширный список интересных математических пособий, книг-сказок, необычных учебников и т.п. из данной книги.

ОСНОВНЫЕ РУБРИКИ САЙТА

Home Page URL: http://suhin.narod.ru/mat5.htm

© 2003-2006 Сухин И.Г. Все права защищены.